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Le théorème de Bolzano-Weierstrass est bien connu des étudiants de licence et de classes préparatoires. Dans une première partie, nous en donnerons l'historique, dans la problématique de la définition des nombres réels de Cauchy à Dedekind et Cantor. Dans une deuxième partie, nous donnerons plusieurs démonstrations du théorème et dans une troisième son extension à la notion de compacité dans les espaces métriques.
Mots-clefs. Analyse, Nombres réels, Bolzano, Weierstrass.
Résumé. L’objet de cet article est le problème posé par l’évaluation aux entiers naturels de la fonction zêta et de cinq autres fonctions qui lui sont naturellement associées. Une approche relativement élémentaire est présentée, qui met ce problème encore partiellement ouvert en relation étroite avec quatre thèmes de parité : les notions de parité d’une fonction et de parité du degré d’un polynôme rejoignent ici les distinctions de parité concernant tant l’argument entier des six fonctions considérées que les entiers dont certaines puissances inverses sont sommées.
Duncan Farquharson Gregory est un mathématicien Ecossais né le 13 avril 1813 et mort le 23 février 1844. Il fait partie d'un groupe de mathématiciens qui ont été identifiés par les historiens des mathématiques sous le nom d'Ecole Algébrique Anglaise. Il regroupe des mathématiciens comme Charles Babbage (1791-1871), Georges Peacock (1791-1858), Augustus de Morgan (1806-1871), Duncan Farquharson Gregory (1813-1844), Georges Boole (1815-1844), William Rowan Hamilton (1805-1865), Arthur Cayley (1824-1895) et James Joseph Sylvester (1814-1897). On peut y rattacher d'autres auteurs moins connus qui ont tous œuvré à établir l'algèbre symbolique comme outil général en mathématiques.
Gregory fonda le Cambridge Mathematical Journal en 1837, revue qui joua un rôle important dans le renouveau des mathématiques au Royaume-Uni.
On se propose d'illustrer l'approche de Gregory à travers l'étude d'un texte sur les logarithmes où l'on peut voir à l'œuvre sa façon d'appréhender divers problèmes grâce à l'algèbre symbolique et sa progression vers une vision générale.
Le texte de Gregory peut servir de support pour enrichir un cours sur les logarithmes en classe et montrer la généralité qui découle des manipulations algébriques abstraites. Nous laissons les citations en langue originale et le texte de Gregory pourra il nous semble inspirer des approches transversale ou en classes européennes ou internationales.
Articles connexes sur CultureMath:
La percée due à Boole et Avant et après Boole, l'émergence de la logique moderne ou L'Art de Penser devient une science mathématique deux textes d'Alain Le Mignot.
Question du jeudi #57 : Un avion survole un circuit parfaitement circulaire, en s'assurant de terminer sa trajectoire exactement là où il l'avait commencée. Autrement dit, sa trajectoire décrit une courbe fermée dans l'espace qui se projette sur un cercle au sol.
Montrer qu'il existe deux points opposés de sa trajectoire (c'est-à-dire deux points à la verticale de points diamétralement opposés du circuit) qui sont à la même altitude.
Question du jeudi #44 : Un véhicule parcourt une route de 100 kilomètres. Son GPS estime le temps restant à parcourir en supposant que la vitesse moyenne sur le trajet restant sera égale à la vitesse moyenne depuis le départ. Au bout de 40 minutes, le GPS indique qu'il reste une heure de trajet. Est-il possible que le GPS donne la même indication pendant les cinq heures suivantes ? Si oui, combien de kilomètres resteront-ils à parcourir au bout de ces cinq heures ?
Auteur : Anne Chomel, Lycée Jean-Baptiste Say (Paris)
Mots-clefs : fonction, théorème de Thalès, équation, inéquation, résolution approchée d'équations, patron, géométrie dans l'espace, algorithme de dichotomie, condition nécessaire et suffisante.
Cette activité d’étude et de recherche permet d’introduire ou bien de réinvestir des notions nouvelles ou des méthodes spécifiques du programme de seconde à travers une problématique donnée : comparer des volumes. Elle est divisée en paragraphes qui peuvent être traités à des moments différents durant l’année. Elle permet notamment de donner un sens au calcul algébrique qui valide ici les solutions d’une équation trouvées graphiquement ou par une méthode algorithmique. Par ailleurs, la résolution des différentes questions donne l’occasion de travailler de façon pratiquement exhaustive les compétences mathématiques. Plusieurs questions de cette activité peuvent être déjà abordées en classe de troisième.
Question du jeudi #23 : Soit $a$, $b$ et $c$ des nombres positifs. Montrer que l'on ne peut pas avoir simultanément les trois inégalités suivantes. \[ a(1-b) > \frac 14, \qquad b(1-c) > \frac 14, \qquad c(1-a) > \frac 14.\]
Question du jeudi #18 : Montrer que parmi tout ensemble de treize nombres réels distincts, on peut en trouver deux ($a$ et $b$) tels que $0 < \frac{a-b}{1+ab} \leq 2 - \sqrt 3$.
Question du jeudi #15 : Soit $a$, $b$ et $c$ trois nombres réels tels que $a + b + c = 1$. Montrer que $a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac 13$.
Question du jeudi #4 : Soit $\Delta$ une droite du plan et $L$ une longueur fixée. Parmi tous les rectangles $ABCD$ tels que $A, D \in \Delta$ et $AB + BC + CD = L$, lesquels sont d'aire maximale ?
