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Le théorème de Bolzano-Weierstrass est bien connu des étudiants de licence et de classes préparatoires. Dans une première partie, nous en donnerons l'historique, dans la problématique de la définition des nombres réels de Cauchy à Dedekind et Cantor. Dans une deuxième partie, nous donnerons plusieurs démonstrations du théorème et dans une troisième son extension à la notion de compacité dans les espaces métriques.

Mots-clefs. Analyse, Nombres réels, Bolzano, Weierstrass.

De nos jours, nous sommes entourés d'ordinateurs : des ordinateurs dont tout le monde est d'accord pour dire que ce sont des ordinateurs, mais aussi les smartphones, par exemple. Cela pourrait choquer les personnes qui ne se sont pas intéressées au problème de définition de ce qu'est un ordinateur. Mais un ordinateur est simplement un objet physique capable d'implémenter tout ce qui est calculable, et la question mathématique de savoir ce qui est calculable a précédé et même alimenté le développement de ces ordinateurs physiques. En cherchant à répondre à ces questions, les mathématiciens ont découvert des propriétés étonnantes vérifiées par ces ordinateurs théoriques et donc aussi leurs implémentations physiques, alors même que ces dernières n'existaient pas encore ou commençaient à paraître.
Un résultat fondamental de ce domaine de recherche, appelé théorie de la calculabilité ou encore théorie de la récursion, est le théorème de récursion de Kleene et ses variantes.

Le but de ce texte est d'expliquer, dans un premier temps de manière intuitive, la signification de ce théorème et quelques-unes de ses applications.

L’avènement du premier empereur chrétien, Constantin — fondateur de Constantinople dans la première moitié du IVe siècle — marque une rupture dans l’histoire, consommée dans les années 390 avec la partition de l’Empire en deux : Orient et Occident. Si les intellectuels chrétiens s’absorbent dans la définition du dogme et la chasse aux hérésies, quelques rares  mathématicien(ne)s — païen(ne)s pour la plupart — continuent de cultiver leurs spécialités. Les contributions mathématiques originales se font rares, mais le mérite de ses érudits est d’avoir assuré la sauvegarde (d’une partie) du patrimoine antique et permis sa transmission ultérieure aux mondes médiévaux byzantins, arabes puis latins …. Rééditant et annotant les écrits classiques, infatigables commentateurs, ils ont cherché à les rendre accessible à un public d’étudiants parfois mal préparés. Ils ont posé les premières pierres de la démarche scholastique. Dans ce monde troublé, quelques contributions — celle de Proclus (410-485), en ce qui concerne la philosophie de la géométrie, ou celle des mathématiciens-architectes de l’époque de Justinien (2e quart du VIe s.) — méritent notre respect.