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Question du jeudi #38 : Alice et Bob jouent à un jeu~: 38 pièces, de diverses valeurs, sont alignées sur une table en face d'eux. Alice choisit une des deux pièces qui occupent une extrémité de la rangée et l'empoche. Bob fait de même, et ainsi de suite jusqu'à ce que Bob empoche la trente-huitième pièce. Montrer qu'Alice peut être sure d'empocher au moins autant d'argent que Bob.
Nous avons déjà vu une construction du corps des Réels dans ce site. Nous en donnons une autre, moins complexe et moins universelle, fondée sur la relation d'ordre naturelle des rationnels. Cette construction a l'avantage de donner très facilement la densité des rationnels dans les réels, mais est en revanche plus laborieuse en ce qui concerne les opérations algébriques. A vous de choisir (vous pouvez prendre les deux !)
La théorie des ensembles est entre autres choses une tentative de formalisation, dans un système d'axiomes assez simples et si possible intuitifs, de l'ensemble des connaissances mathématiques. En particulier, l'essentiel de l'arithmétique ou de l'analyse se déduirait de façon élémentaire, quoique assez longue, de cette axiomatique.
Dans ce texte, nous allons présenter la théorie des cardinaux, du moins son début : définition, cardinal d'un ensemble et théorème de Cantor-Bernstein, addition et multiplication cardinale. En revanche, nous passerons sous silence le problème de l'exponentiation cardinale, qui est autrement plus compliquée.
Nous introduisons la notion d'ordinal de la façon la plus élémentaire possible, afin d'en présenter quelques propriétés, qui nous ont paru les plus importantes. Nous ne prétendons pas en faire une étude complète : par exemple, nous passons sous silence les notions d'addition, de multiplication ou d'exponentiation ordinale, qui sont des notions plus difficiles qu'il n'y paraît et mériteraient plus de travail.
Ayant construit les rationnels, voici bien sûr les réels, par la méthode des suites de Cauchy. Comme pour les rationnels, il faut vérifier que le nouvel ensemble étends celui des rationnels, et que les opérations, la relation d'ordre, la valeur absolue, se prolongent à l'ensemble des réels. Puis, sans bien sûr épuiser le sujet, nous nous penchons sur les propriétés topologiques de l'ensemble des réels : complétude, propriété de la borne supérieure ; propriétés qui sont à la base de toute l'analyse réelle.
Ayant construit les entiers naturels, quoi de plus naturel que de passer aux entiers relatifs. Là aussi, la présentation choisie est la plus axiomatique et rigoureuse possible. Partant de la définition des relatifs, vus comme des classes d'équivalence pour une relation d'équivalence bien choisie sur les couples d'entiers naturels, on en arrive peu à peu jusqu'à l'arithmétique élémentaire.
Dans la droite ligne des constructions précédentes, nous construisons ici l'ensemble des rationnels, à partir d'une relation d'équivalence sur les couples de relatifs. Nous définissons les opérations plus et multiplier sur ce nouvel ensemble, la relation d'ordre, etc, en montrant que tout ceci prolonge en réalité les opérations déjà définies pour les relatifs.
