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Le théorème de Bolzano-Weierstrass est bien connu des étudiants de licence et de classes préparatoires. Dans une première partie, nous en donnerons l'historique, dans la problématique de la définition des nombres réels de Cauchy à Dedekind et Cantor. Dans une deuxième partie, nous donnerons plusieurs démonstrations du théorème et dans une troisième son extension à la notion de compacité dans les espaces métriques.
Mots-clefs. Analyse, Nombres réels, Bolzano, Weierstrass.
Question du jeudi #57 : Un avion survole un circuit parfaitement circulaire, en s'assurant de terminer sa trajectoire exactement là où il l'avait commencée. Autrement dit, sa trajectoire décrit une courbe fermée dans l'espace qui se projette sur un cercle au sol.
Montrer qu'il existe deux points opposés de sa trajectoire (c'est-à-dire deux points à la verticale de points diamétralement opposés du circuit) qui sont à la même altitude.
Toute personne se trouvant aux prises avec un embrouillaminis de fils est amenée à se demander si les fils sont simplement emmêlés, ou si des nœuds viennent corser l'affaire et rendre le démélage plus compliqué. Auquel cas, se pose la question de la marche à suivre pour dénouer la pelote, ou au moins d'éviter d'aggraver la situation !
Ce texte nous présente le lemme de Baire, ainsi que son créateur, René Baire, mathématicien maudit du début du XX° siècle. Il nous raconte, comme un récit, certaines théories qui ont révolutionné l'analyse il y a une centaine d'années, en les entremêlant d'éléments biographiques sur les principaux acteurs de ces petites révolutions, Borel, Lebesgue et Baire, moins connu du fait de son histoire plus tragique. Nous y croiserons, pêle-mêle, rivalité entre chercheurs, fonctions pathologiques (continues mais pas dérivables, etc...), remarques générales et petites digressions pour connaisseurs.
Quand on découvre les mathématiques, on étudie des formes et des nombres. Une manière usuelle d'associer des nombres à une forme est de mesurer des longueurs. Ce texte nous présente de façon intuitive les notions de courbure et de torsion des courbes et des surfaces, et présente un théorème classique sur la courbure des nœuds...
