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La formule dite de Stirling, qui donne une évaluation de n! pour les grandes valeurs de n, est au centre des travaux menés au début du XVIIIe siècle sur les problèmes probabilistes de passage à la limite et d'approximations. Cet article peut se présenter comme un complément au texte sur le théorème de de Moivre-Laplace. La découverte des évaluations de n! par de Moivre et Stirling a donné lieu à des travaux concomitants de ces deux mathématiciens avec des échanges de correspondance, des corrections mutuelles d'erreurs. Ces travaux se situent à un moment que l'on peut qualifier de paradoxal dans l'histoire des mathématiques. En effet les méthodes infinitésimales se développent alors de plus en plus ; elles permettent d'aborder et de résoudre des questions nouvelles. Mais la véracité des résultats obtenus ne peut plus être légitimée par une synthèse démonstrative à la grecque. Il faut donc innover, expérimenter, confronter les résultats obtenus par différentes méthodes ou différents auteurs, avant de pouvoir être sûr de la scientificité d'un énoncé. Nous savons de plus aujourd'hui que certains outils étaient employés sans la rigueur (au sens moderne du terme) nécessaire. Ce sont donc les tours et détours des démarches analytiques du début du XVIIIe siècle que nous voudrions montrer dans ce texte.

Les bibliographies consacrées à l’œuvre majeure d’Augustin Cournot sont presque toujours fragmentaires, tant les domaines qu’il a explorés sont divers : mathématiques, économie, philosophie, histoire, sociologie, pédagogie. Or la pensée de Cournot est suffisamment riche et profonde pour ménager un réseau de passages d’un champ à l’autre.

A l’origine du calcul littéral figure notamment la résolution des équations algébriques, de Babylone à Galois. Le problème de la résolution des équations P(x)=0 où P est un polynôme donné possède plusieurs types de réponses, selon ce que l’on en attend : par exemple, développements décimaux d’ordre donné des solutions (heureusement en nombre fini), construction géométrique de segments ayant pour longueurs les valeurs des racines positives de l’équation, algorithmes basés sur des extractions de racines ou emploi de fonctions spéciales (elliptiques par exemple). Leur étude a été un facteur très important de la naissance et du développement des techniques de calcul (littéral ou géométrique). Leur histoire est jalonnée par une liste impressionnante de créateurs : les babyloniens, Euclide, Diophante, Al Khwarizmi, Cardan, Viète, Descartes, Newton, Lagrange, Abel et Galois pour ne citer que ceux-là. Enfin l’informatique est venue modifier, parfois de manière importante, les points de vue que nous avions il y a cinquante ans sur ce thème. Le but de l’intervention est de préciser, à chaque fois de manière simple et assez succincte, que fut l’apport de chacun d’entre eux.

Voici un texte qui nous a été envoyé par un de nos jeunes lecteurs, Thibault Bourgeron, actuellement en classe de terminale S au lycée Sainte-Marie d'Antony ! Ce travail traite de deux problèmes à résoudre par récurrence.