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Ressources adaptées au programme de mathématiques de terminale S
Le programme des premières S (B.O. 2011) est disponible en version pdf.
Il est découpé en trois grands thèmes (plus deux pour l'enseignement de spécialité), et assorti de deux capacités transversales. Cliquez sur les différents thèmes pour obtenir une liste de ressources CultureMATH correspondantes.
- Analyse
- Géométrie
- Statistique et probabilités
- Arithmétique (enseignement de spécialité)
- Matrices et suites (enseignement de spécialité)
Deux capacités transversales :
Dans la droite ligne des constructions précédentes, nous construisons ici l'ensemble des rationnels, à partir d'une relation d'équivalence sur les couples de relatifs. Nous définissons les opérations plus et multiplier sur ce nouvel ensemble, la relation d'ordre, etc, en montrant que tout ceci prolonge en réalité les opérations déjà définies pour les relatifs.
Nous présentons ici une définition et l'étude des propriétés élémentaires de l'ensemble des entiers naturels, définis dans le cadre axiomatique de la théorie des ensembles. Nous utilisons ces propriétés sans y penser, elles nous semblent évidentes... Mais peut-être méritent elles parfois que l'on s'y attarde quelque peu ?
Si l'on prends six personnes au hasard, alors trois d'entre elles se connaissent, ou alors on peut en trouver trois dont aucune ne se connaissent. Cette remarque, en apparence anodine, permet de déboucher sur toute une théorie combinatoire. En effet, reformulée en termes de graphe, cela signifie que, si l'on colorie les arêtes du graphe complet à six sommet en deux couleurs, alors on peut trouver un triangle dont les trois arêtes sont de la même couleur. La question se pose alors pour d'autres type de configurations, et l'on verra que le résultat reste valable à condition de colorier les arêtes d'un graphe suffisamment gros.
Les sondages d'opinions sont devenus partie intégrante de notre quotidien. Tout le monde sait comment ils sont effectués, dans les grandes ligne. Mais que signifient-ils exactement ? Quel crédit leur apporter ?
En nous basant sur cet exemple fondamental, nous introduisons dans ce texte la notion d'inférence statistique, en essayant de la décortiquer au maximum. Notre but est en l'occurrence de définir ce que peut-être une marge d'erreur, un intervalle de confiance.
Nous allons nous intéresser ici au nombre de manières de ranger des boules dans des boîtes. Problème classique s'il en est : nombre d'arrangements, nombre de combinaisons... Contrairement aux apparences, ce problème n'est pas toujours si simple lorsque l'on s'impose comme ici une contrainte supplémentaire : les boîtes sont indistinguables les unes des autres. Là, les choses se compliquent !
Parmi les problèmes les plus célèbres en mathématiques, la construction des polygones réguliers à la règle et au compas possède une place de choix puisqu'elle a tenu en haleine les mathématiciens pendant plus de vingt siècles. Il a fallut attendre les travaux du mathématicien allemand Gauss pour que la question soit entièrement résolue.
Reste encore un pas à franchir dans nos extensions d'ensembles de nombres. Certaines équations algébriques extrêmement simples, à coefficients réels, restent sans solution réelle (par exemple, les réels négatifs ne sont pas les carrés de réels). D'où la nécessité d'étendre encore une fois notre ensemble de nombres, en formant un sur-corps du corps des réels, dont les éléments seront appelés nombres complexes. Ce sur-corps se révélera algébriquement clos, c'est-à-dire que cette fois toute équation algébrique (à coefficients complexes) aura des solutions (complexes).
Lorsque l'on bat un jeu de cartes, selon le procédé classique qui consiste à couper le paquet en deux parties puis à alterner les cartes des deux parties pour reformer un seul tas (puis à recommencer l'opération un certain nombre de fois), le but est bien sûr qu'aucun joueur ne puisse deviner l'ordre des cartes après battage. Manifestement, si l'on ne bat qu'une seule fois, un joueur attentif qui connaissait l'ordre initial des cartes dispose encore de certaines informations. D'où la question de savoir combien de fois il faut battre le paquet de cartes pour qu'il soit "bien mélangé".
Comment empiler efficacement des oranges (ou tout autre fruit sphérique) de façon à obtenir un tas occupant aussi peu de volume que possible ? Est-il préférable d'empiler des couches où les fruits sont disposés en carrés, ou une disposition en triangles est-elle plus efficace ?
Si l'on trace les cercles circonscrits aux cinq triangles correspondant aux "branches" d'une étoile à cinq branches, on s'aperçoit que les points d'intersection de chacun de ces cercles avec le suivant sont cocycliques !
Ce problème de géométrie assez classique à été remis au goût du jour par le président chinois, à l'occasion du congrès international des mathématiciens (Pékin, août 2002).
